Das nachfolgende Script wurde genau in dieser Form vom Modul "Analytische Geometrie" des 3D-GeometrieBaukastens erstellt.

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Lage Gerade - Gerade

Gerade:  X &to;= (420)  +  s  (31-2)	Gerade:  X &to;= (415)  +  t  (121)
Lage: Die Geraden sind zueinander windschief. Abstand:  d = 12 =  2 3 ≈ 3,464  Lotfußpunkte: P1 (1 | 1 | 2)          P2 (3 | -1 | 4)
Vollbild

Lageuntersuchung der Geraden

Wegen
(31-2)	&neq;	t · (121)
sind die Geraden g1  und g2  nicht zueinander parallel. Die Geraden schneiden sich oder liegen zueinander winschief. Wir untersuchen die Geraden auf einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Untersuchung Schnittpunkt Gerade - Gerade

Der Ansatz
(420) + s (31-2)	=	(415) + t (121)
liefert das Gleichungssystem
3 s + (-1) t	=	0
1 s + (-2) t	=	-1
mit den Lösungen
s	=	15
t	=	35    .
Mit diesen Parametern kann nun der mögliche Schnittpunkt berechnet werden.
OS &to; = (420) + 15 (31-2)	=	(415) + 35 (121)
(235115-25)	&neq;	(235115285)
⇒  Es gibt keinen Schnittpunkt beider Geraden.

Berechnung Abstand Gerade - Gerade

Wir nutzen die Gleichung  d = | ( po &to; - qo &to;) · n &to; || n &to; |   mit  po &to; = (420)  ; q0 &to; = (415)  und  n &to; = (5-55)  (Normalenvektor)
d	=	| [(420) - (415)]  ·  (5-55) |75
d	=	3075
d	=	2 3
d	≈	3,464

Berechnung Lotfußpunkt für den Abstand Gerade - Gerade

Es seien P1  und P2  Punkte der Geraden und r1 &to;  sowie r2 &to;  die zugehörigen Richtungsvektoren der Geraden.
Mit dem Ansatz P1 P2 &to; · r1 &to; = 0  und P1 P2 &to; · r2 &to; = 0  erhält man
[ (01-5) + s (31-2) - t (121) ]  ·  (31-2)	=	0
[ (01-5) + s (31-2) - t (121) ]  ·  (121)	=	0
und damit das Gleichungssystem
14 s + (-3) t	=	-11
3 s + (-6) t	=	3
mit den Lösungen
s	=	-1
t	=	-1     .
Mit den Parametern s und t können wir nun die Lotfußpunkte berechnen.
OP1 &to; =  (420) +  (-1)  (31-2)	=	(112)
OP2 &to; =  (415) +  (-1)  (31-2)	=	(3-14)
⇒  P1 (1 | 1 | 2)  und  P2 (3 | -1 | 4)

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