Grundkurs Mathematik: Abiturprüfung 1995


Gegeben ist die Funktion

a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und die lokalen Extrempunkte des Graphen von f!
(8 BE)

b) Weisen Sie nach, daß der Graph f zwei Wendepunkte hat!
Berechnen Sie die Koordinaten dieser Wendepunkte!
(4 BE)

c) Zeigen Sie, daß die Tangenten, die an den Graphen von f in den Wendepunkten gelegt werden, aufeinander senkrecht stehen!
(3 BE)

d) Berechnen Sie f(3) und f(-3)!
Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall !
(2 BE)

e) Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit

eine Stammfunktion von f ist!
(1 BE)

f) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen der Funktion f und den Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird!
(2 BE)

g) Beweisen Sie: Für alle ist der Quotient

konstant! Bestimmen Sie den Wert dieser Konstanten!
(3 BE)

h) Der Koordinatenursprung O, der Punkt mit und der Punkt bilden ein Dreieck ΔOPQ.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, daß der Flächeninhalt A des Dreieckes ΔOPQ maximal wird!
Zeigen Sie, daß gilt!
(7 BE)
----------
(30 BE)
Kontrollmöglichkeiten mit Funktion:

- vollständige Kurvendiskussion (a,b,d)
- Zeichnen und berechnen der Tangenten (c)
- Berechnen des Integrals (f)


zu den Lösungen