Gegeben ist die Funktion f durch
.
a)
Untersuchen Sie die Funktion f auf Polstellen, und den Graphen von f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrempunkte und Wendepunkte!
Weisen Sie die Art der lokalen Extrema nach!
(8 BE)
b)
Die Gerade mit der Gleichung y = x + 3 ist eine Asymptote des Graphen der Funktion f.
Zeichnen Sie diese Asymptote und den Graphen der Funktion f im Intervall
in ein und dasselbe Koordinatensystem!
Die Koordinatenachsen, die Gerade g und die Gerade mit der Gleichung x = 2 begrenzen ein Trapez. Bei Rotation dieser Trapezfläche um die x-Achse entsteht ein Kegelstumpf. Berechnen Sie das Volumen des Kegelstumpfes!
(4 BE)
c)
Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden h, die den Graphen von f im 1. Quadranten berührt und die auf der Geraden g (aus Teilaufgabe b) senkrecht steht!
In welchem Punkt P(u; f(u)) des Graphen f muß man die Tangente an den Graphen legen, so daß diese Tangente durch den Koordinatenursprung geht?
(6 BE)
d)
Der Graph von f, die Gerade g sowie die Gerade x = e (e bezeichnet die Eulersche Zahl) und x = c
begrenzen eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt A dieser Fläche in Abhängigkeit von c! Berechnen Sie c für den Fall, daß der Inhalt der Fläche 2 Flächeneinheiten beträgt!
(4 BE)
e)
Der Graph einer quadratischen Funktion q geht durch den Punkt Q (0;3) und hat im Punkt R(4;5) einen lokalen Maximumpunkt.
Ermitteln Sie die Gleichung der quadratischen Funktion q!
Für welches x mit x>0 wird die Differenz d(x) = f(x) - q(x) minimal?
Berechnen Sie die minimale Differenz!
(8 BE)
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(30 BE)
Grundkurs Mathematik (1995)
Aufgabe 1.2: Analysis
Gegeben ist die Funktion
a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und die lokalen Extrempunkte des Graphen von f!
(8 BE)
b) Weisen Sie nach, daß der Graph f zwei Wendepunkte hat!
Berechnen Sie die Koordinaten dieser Wendepunkte!
(4 BE)
c) Zeigen Sie, daß die Tangenten, die an den Graphen von f in den Wendepunkten gelegt werden, aufeinander senkrecht stehen!
(3 BE)
d) Berechnen Sie f(3) und f(-3)!
Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall
!
(2 BE)
e) Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit
eine Stammfunktion von f ist!
(1 BE)
f) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen der Funktion f und den Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird!
(2 BE)
g) Beweisen Sie: Für alle
ist der Quotient
konstant! Bestimmen Sie den Wert dieser Konstanten!
(3 BE)
h) Der Koordinatenursprung O, der Punkt
mit
und der Punkt
bilden ein Dreieck ΔOPQ.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, daß der Flächeninhalt A des Dreieckes ΔOPQ maximal wird!
Zeigen Sie, daß
gilt!
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 0 ; 2 ; 0 ) , B ( -3 ; 2 ; 3 ) und C ( -3 ; 5 ; 0 ) gegeben.
a)
Bestimmen Sie die Seitenlängen und die Innenwinkel des Dreiecks ΔABC !
(3 BE)
b)
Geben Sie die Gleichung der Ebene ε an, in der das Dreieck Δ ABC liegt !
(1 BE)
c)
Die Gerade g mit dem Richtungsvektor
enthält den Punkt E(1 ; 5 ; 5) und schneidet die Ebene ε (aus Teilaufgabe b) in einem Punkt D.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes D an!
Weisen Sie nach, daß die Strecke ED senkrecht auf der Ebene ε steht !
(5 BE)
d)
Das Dreieck Δ ABC sei die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze E (aus Teilaufgabe c).
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCE.
(3 BE)
e)
Auf der Geraden g (aus Teilaufgabe c) existieren zwei Punkte F1 und F2 so, daß das Volumen der Pyramide ABCF1 und ABCF2 jeweils halb so groß ist wie das Volumen der Pyramide ABCE.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F1 und F2 an !
Von den Eckpunkten eines Quaders ABCDEFGH sind die Punkte A(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 6 ; 0) und H(0 ; 0 ; 8) in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung D gegeben. (siehe Skizze).
a)
Bestimmen Sie die Koordinaten der übrigen Eckpunkte!
(1 BE)
b)
Auf der Kante BF
liegt ein Punkt K(xo ; yo ; zo ) so, daß gilt:
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes K und den Winkel AKH !
(4 BE)
c)
Geben Sie eine Gleichung für die Ebene ε an, die die Punkte E, B, und G enthält !
In welchem Punkt schneidet ε die z-Achse?
(3 BE)
d)
Die Gerade, die durch die Punkte D und F verläuft durchstößt ε (aus Teilaufgabe c) im Punkt S.
Berechnen Sie die Koordinaten von S !
(3 BE)
e)
Die Punkte B, E und C bilden mit einem Punkt T ein ebenes Viereck.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Lage von T, damit das Viereck ein Parallelogramm ist ?
Ermitteln Sie jeweils die Koordinaten von T !