Grundkurs Mathematik (1996)
Aufgabe 1.1: Analysis


Für jede reelle Zahl t ( ) iste eine Funktion f t gegeben durch
.
Der Graph von f t werde mit G t bezeichnet.

a) Es sei t = -3.
Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen G -3 mit der x-Achse, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und des Wendepunktes von G -3!
(9 BE)

b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f -3 für !
(2 BE)

c) Skizzieren Sie G -3 im Intervall !
(2 BE)

d) Der Koordinatenursprung O, der lokale Maximumpunkt und der wendepunkt des Graphen G -3 sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks!
(3 BE)

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G -3 im Punkt A(4; f -3(4))! Unter welchen Winkel α schneidet diese Tangente die x-Achse?
(4 BE)

f) Der Graph G -3 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche!
(3 BE)

g) Für welche Werte des Paramters t hat der zugehörige Graph G t im Wendepunkt W den Anstieg ?
Kontrollergebnis:
(4 BE)

h) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen G 1 und G 2 , und zeigen Sie, daß für jedes der Graph G t durch diese Punkte verläuft!
(3 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1996)
Aufgabe 1.2: Analysis


Gegeben ist die Funktion f durch
.
a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrempunkte und Wendepunkte!
(7 BE)

b) Berechnen Sie f(1) und f(8), und skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 1 ≤ x ≤ 8!.
(2 BE)

c) Gegeben ist eine Funktion F durch
.
Zeigen Sie, daß Feine Stammfunktion von f ist!
(2 BE)

d) Der Graph der Funktion f und die Gerade g, die durch die Punkte M(1 ; f(1) ) und N(e²; f(e²) ) verläuft, begrenzen eine Fläche vollständig.
berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche!
(e bezeichnet die Eulersche Zahl.)
(4 BE)

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f, deren Anstieg m = -0,5 beträgt!
(4 BE)

f) Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Gerade g 8aus Teilaufgabe d) die Tangente an den Graphen von f im Punkt N(e²; f(e²) schneidet!
(4 BE)

g) Es existiert eine quadratische Funktion h mit
h(x) = - x² + bx +c (b,c ε R), die in H(e ; e) einen lokalen Maximumpunkt hat. Geben Sie die Gleichung dieser quadratischen Funktion an!
(4 BE)

h) Für jede reelle Zahl a (a ≠ 0) ist eine Funktion fa durch fa(x) = x (a - ln x ), (x ε R, x>0) gegeben. P(1 ; a) ist ein punkt des Graphen der Funktion fa.
Ermitteln Sie den Paramter a für den Fall, daß die Tangente an den Graphen von fa im Punkt P den Anstieg m = 2 hat!
(3 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1996)
Aufgabe 2.1: Analytische Geometrie


Gegeben Sei ein gerader Pyramidenstumpf, dessen Grund- und Deckfläche Quadrate mit den Seitenlängen 10 Längeneinheiten (LE) und 6 LE sind. Die Körperhöhe beträgt 4 LE.
(Skizze nicht maßstäblich)



a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Pyramidenstumpfes an (siehe Skizze)!
(2 BE)

b) Durch die Punkte A und G verläuft die Gerade g1 und durch die Punkte C und E die Gerade g2. Geben Sie je eine Gleichung für g1 und g2 an! Berechnen Sie den Schnittpunkt S1 und den Schnittwinkel beider Geraden!
(6 BE)

c) Durch den Mittelpunkt M der Strecke OA geht die Gerade g3,
deren Richtungsvektor ist.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g3 an! geben Sie eine Gleichung der Ebene ε an, die die Punkte B, C und F enthält! Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes S2 der Geraden g3 mit der Ebene ε !
(4 BE)

d) Auf der Kante DE liegen zwei Punkte P1 und P2 so, daß die Winkel und rechte Winkel sind. Berechnen Sie die Koordinaten von P1 und P2 !
(3 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (1996)
Aufgabe 2.2: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
A(3;-1;2), B(11;-5;10), C(5;1;13) und D(-1;3;4) gegeben.

a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε an, in der die Punkte A, B und C liegen!
(1 BE)

b) Weisen Sie nach, daß das Viereck ABCD ein Trapez ist!
(2 BE)

c) Bestimmen Sie den Winkel BAD!
Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Trapezes ABCD!
(5 BE)

d) Bestimmen Sie einen weiteren Punkt E in der Ebene ε so, daß die Punkte A, B, C und E (in dieser Reiehenfolge) ein Parallelogramm bilden!
Der Punkt D liegt auf der Strecke AE.
In welchem Verhältnis teilt der Punkt D die Strecke AE?
(4 BE)

e) Gegeben ist eine Ebene durch die Gleichung
.
Die Ebene schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten

Berechnen Sie die Koordinate x1 des Punktes S1!
Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide OS1S2S3 (O bezeichnet den Koordinatenursprung)!
(3 BE)
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(15 BE)