Grundkurs Mathematik (1997)
Aufgabe 1.1: Analysis


Gegeben ist die Funktion f durch .
a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, lokale Extrempunkte und Wendepunkte! Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte! Ermitteln Sie die Polstelle der Funktion f!
(10 BE)

b) Berechnen Sie f(-2) und f(6)! Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -2 ≤ x ≤ 6!
(3 BE)

c) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an!
(1 BE)

d) Gegeben ist eine Funktion F durch .
Zeigen Sie, daß F eine Stammfunktion von f für x>2 ist!
Der Graph der Funktion f und die Geraden mit der Gleichung x=3, x=5 und y=-2 begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche!
(5 BE)

e) Gegeben ist die lineare Funktion g durch .
Berechnen Sie dijenige Stelle x (x>2), für die die Differenz d(x) = f(x) - g(x) minimal wird! Berechnen Sie die minimale Differenz!
(6 BE)

f) Für jedes a ist eine Gerade ha durch

gegeben. Für welche a ist die Gerade ha Tangente an den Graphen von f?
(5 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1997)
Aufgabe 1.2: Analysis


Gegeben ist die Funktion

a) Zeigen Sie, daß der Graph der Funktion f zur y-Achse symmetrisch ist!
Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf lokale Extrempunkte und Wendepunkte! Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte!
(12 BE)

b) Skizzieren Sie den Graphen f im Intervall -3 ≤ x ≤ 3!
(Koordinateneinheiten: x-Achse: 1cm; y-Achse: 5cm)
(2 BE)

c) Die Punkte P(-1 ; f(-1) ), Q( 1 ; f(1) ) und R( 0 ; f(0) ) bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Berechnen Sie das Volumen des kegels, der bei Rotation des Dreiecks Δ PQR um die y-Achse entsteht!
(2 BE)

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt Q(1 ; f(1) )! Unter welchen Winkel α schneidet diese Tangente die x-Achse?
(4 BE)

e) Die Punkte Q(1 ; f(1) ), R(0 ; f(0) ) und ein Punkt S auf der x-Achse bestimmen ein Dreieck.

Bilden Sie das Skalarprodukt der Vektoren und !
Für welche Koordinaten des Punktes S wird das Skalarprodukt minimal?
(4 BE)

f) Es gibt eine quadratische Funktion q mit q(x) = ax² + c (a ≠ 0; a,c ε R) so, daß die Parabel den Graphen von f in seinen Wendepunkten berührt, d.h. die beiden Graphen haben an diesen Stellen je eine gemeinsame Tangente.
Berechnen Sie die Koeffizienten a und c!
(4 BE)

g) Für welche Zahl r ist die Gleichung r • f '(x) + x • f ''(x) + f '''(x) = 0 für alle x ε R erfüllt?
(2 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1997)
Aufgabe 2.1: Analytische Geometrie


Die Punkte A(3;1;1), B(9;7;1), C(3;7;1) und D(3;7;7) sind Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide (siehe Skizze!):
(Skizze nicht maßstäblich)


a) Weisen Sie nach, daß die Seitenkanten AC, BC und DC gleich lang und paarweise orthogonal sind! Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD!
(4 BE)

b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Seitenkante DC!
Zeigen Sie, daß der Punkt E(7;7;3) auf der Seitenkante BD liegt!
(3 BE)

c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε an, die durch die Punkte E, M und G(-1;3;4) verläuft!
(1 BE)

d) Die Seitenkante AD wird von ε im Punkt H geschnitten.
Berechnen Sie die Koordinaten von H!
(4 BE)

e) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schnittfigur ΔHEM!
(3 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (1997)
Aufgabe 2.2: Analytische Geometrie


Gegeben sind die Punkte A(1;6;-5), B(7;9;1) und Ct(t;7;-t) mit t ε R sowie ein Vektor


a) C4 sei der Punkt Ct für t = 4.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D so, daß die Punkte A, B, C4, D in dieser Reiehenfolge ein Parallelogramm bilden! Berechnen Sie den Inhalt der Parallelogrammfläche!
(4 BE)

b) Zeigen Sie, daß der Punkt C3 auf der Strecke AB liegt!
In welchem Verhältnis teilt der Punkt C3 die Strecke AB?
(2 BE)

c) Die Gerade g ist gegeben durch den Punkt C2 und den Richtungsvektor a.
Eine Gerade h verläuft durch Co und C-1.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von g und h!
(3 BE)

d) Die Ebene ε enthält die Punkte A, B und C1.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden g (aus Teilaufgabe c) bezüglich der Ebene ε !
(4 BE)

e) Für welche Werte t ( t ≠ 3) besitzt das Dreieck ΔABCt bei Ct einen rechten Winkel?
(2 BE)
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(15 BE)