Grundkurs Mathematik (1998)
Aufgabe 1.1: Analysis


Gegeben ist die Funktion f mit

a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Extrem- und Wendepunkte!
Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an!
(8 BE)

b) Skizzieren Sie den Graphen f im Intervall -2 ≤ x ≤ 4,2!
(2 BE)

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt A(1 ; f(1))!
(3 BE)

d) Geben Sie die Gleichung der Geraden g an, die im Punkt A senkrecht auf der Tangente t steht!
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Gerade g mit der y-Achse!
(3 BE)

e) Die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen und der lokale Maximumpunkt bilden ein Dreieck.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt!
(4 BE)

f) Es sei P(x ; f(x)) mit 0 ≤ x ≤ 4 ein Punkt auf dem Graphen von f. Die Parallele zur y-Achse durch P schneidet die x-Achse in einem Punkt Q, die Parallele zur x-Achse durch P schneidet die y-Achse in einem Punkt S.
Berechnen Sie die x-Koordinate von P für den Fall, dass der Flächeninhalt des Rechtecks OQPS maximal wird!
(O bezeichnet den Koordinatenursprung)
(6 BE)

g) Gesucht ist die Gleichung derjenigen quadratischen FUnktion q, deren Graph durch die Punkte A(1 ; f(1)) und B(0 ; f(0)) verläuft und im Punkt B den Anstieg besitzt.
(4 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1998)
Aufgabe 1.2: Analysis


Gegeben ist die Funktion f mit

a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrem- und Wendepunkte!
Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an!
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im Intervall 0,1 ≤ x ≤ 6!
(7 BE)

b) Im Punkt P (6 ; f(6) ) sei die Tangente t an den Graphen von f gelegt.
Geben Sie die Gleichung dieser Tangente an!
Unter welchen Winkel α schneidet diese Tangente die Gerade mit der Gleichung x = 6!
(4 BE)

c) Zeigen Sie, dass

eine Stammfunktion von f ist!
(2 BE)

d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, der Geraden mit der Gleichung x=1 und dem Graphen von f vollständig begrenzt wird!
(2 BE)

e) Gegeben ist die lineare Funktion h durch
.
Berechnen Sie diejenige Stelle x (x>0), an der die Differenz d(x) = h(x) - F(x) ein lokales Maximum annimmt!
Berechnen Sie diese maximale Differenz!
(4 BE)

f) Gegeben seien die Punkte O(0 ; 0), A(1 ; f(1) ), P(6 ; f(6) ).
Berechnen Sie den Winkel β mit β = PAO!
(3 BE)

g) Die Tangente t (aus Aufgabe b), der Graph von f und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche!
(4 BE)

h) Es gibt eine quadratische Funktion q so, dass die Parabel durch den Koordinatenursprung verläuft und den Graphen von f in P(6 , f(6) ) berührt, d.h. die beiden Graphen haben in P eine gemeinsame Tangente.
Geben Sie die Gleichung der quadratischen Funktion an!
(4 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1998)
Aufgabe 2.1: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
A(4;1;-1), B(5;2;-1), C(2;3;3), E(6;3;-1) und F(5;2;2) gegeben.

a) Ermitteln Sie die Gleichung für die Gerade g, die durch die Punkte A und B verläuft!
Zeigen Sie, dass der Punkt C nicht auf der Geraden g liegt!
(2 BE)

b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε1 an, die den Punkt C sowie die Gerade g enthält!
(1 BE)

c) Die Ebene ε1 schneidet die x-y-Koordinatenebene in der Geraden s.
Ermitteln Sie die Gleichung der Schnittgeraden s!
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Sz , in dem die z-Achse die Ebene ε1 durchstößt!
(4 BE)

d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D, der auf der Geraden g liegt und von den Punkten C und E die gleiche Entfernung besitzt!
(4 BE)

e) Die Strecke BC ist die Diagonale eines Rechteckes BGCH mit H ε g.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte H und G!
(4 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (1998)
Aufgabe 2.2: Analytische Geometrie


Durch die Punkte A(0;0;0), B(4;0;0), C(0;4;0) und D(2;2;4) ist eine Pyramide gegeben (siehe Skizze).

(Skizze nicht maßstäblich)


a) Geben Sie eine Paramtergleichung für die Gerade g1 durch die Punkte B und C sowie für die Gerade g2 durch die Punkte A und D an!
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Geraden g1 und g2 windschief sind!
(3 BE)

b) Die Gerade s1 verläuft durch D und halbiert die Strecke BC, ist also Seitenhalbierende des Dreiecks ΔBCD. Eine weitere Seitenhalbierende des Dreiecks ΔBCD heißt s2.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Seitenhalbierenden!
Berechnen Sie den Schnittwinkel α dieser Seitenhalbierenden!
(5 BE)

c) Die Ebene ε enthält die Punkte B, C und D.
Geben Sie für ε eine Ebenengleichung an!
(1 BE)

d) Die Gerade h mit durchstößt die Ebene ε im Punkt Q.
Berechnen Sie die Koordinaten von Q!
(2 BE)

e) Weiterhin durchstößt die Gerade h die Ebene des Dreiecks ACD im Punkt P(1;1;2).
Für welche r ε R liegen die Punkte der Geraden h im Inneren der Pyramide ABCD?
(2 BE)

f) Prüfen Sie, ob die Punkte A(0;0;0), B(4;0;0) Q(3;1;2) und P(1;1;2) in dieser Reihenfolge ein gleichschenkliges Trapez bilden!
(2 BE)
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(15 BE)