Grundkurs Mathematik (1999)
Aufgabe 1.1: Analysis


Gegeben ist die Funktion f durch

a) Weisen Sie nach, dass gilt: !

Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, lokale Extrem- und Wendepunkte!
Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte!
(9 BE)

b) Ermitteln Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen der Funktion f!
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f sowie die Asymptoten im Intervall in ein und dasselbe Koordinatensystem!
(5 BE)

c) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
für x > -4 eine Stammfunktion von f ist!
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse vollständig begrenzt wird!
(4 BE)

d) Die Punkte A(-3; f(-3)), B(5; f(5)) und C(xc; f(xc)) mit -3 < xc < 5 bilden ein Dreieck.
Für welchen Wert xc ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal?
Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt!
(4 BE)

e) Durch die Punkte A(-3; f(-3)), B(5; f(5)) und D(0; f(0)) verläuft der Graph einer quadratischen Funktion q.
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für q!
(4 BE)

f) Im Punkt B(5; f(5)) existiert die Tangente tB an den Graphen der Funktion f.
Zu dieser Tangente tB gibt es durch B eine senkrechte Gerade g.
Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden g!
(4 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1999)
Aufgabe 1.2: Analysis


Gegeben ist eine Funktion f durch

a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, lokale Extrem- und Wendepunkte und geben Sie diese gegebenenfalls an!
Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall -3 ≤ x ≤ 3 !
(9 BE)

b) Der Graph von f schneidet die x-Achse im Punkt N.
An den Graphen der Funktion f wird im Punkt N die Tangente gelegt.
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die auf dieser Tangente im Punkt N senkrecht steht!
(3 BE)

c) Weisen Sie nach, dass eine Stammfunktion von f ist!
Ermitteln Sie diejenige Stammfunktion, die an der Stelle x = 0,5 den Wert 3e0,25 hat!
(3 BE)

d) Der Graph der Funktion f und der Graph der Funktion y = x - 2 begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie deren Inhalt!
(4 BE)

e) Durch die Punkte P( k ; f(k)) mit 0 < k < 2 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Die Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck.
Berechnen Sie k für den Fall, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird!
Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an!
(7 BE)

f) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat im Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse einen Extrempunkt und im Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse einen Wendepunkt.
Geben Sie die Gleichung dieser Funktion an!
(4 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (1999)
Aufgabe 2.1: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem bestimmen die Eckpunkte A, B, C, D und E, F, G, H eine Garage mit rechteckiger Grundfläche und Pultdach. Drei Kanten liegen auf den Koordinatenachsen; der Boden ist Teil der x-y-Koordinatenebene.
Es ist A (5; 0; 0), B (5; 3; 0), E (5; 0; 2,5) und H (0; 0; 4) (Angaben in Metern).

(Skizze nicht maßstäblich)


a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C, D, F und G!
(1 BE)

b) Berechnen Sie den Rauminhalt der prismenförmigen Garage sowie den Flächeninhalt des Daches!
(3 BE)

c) Stellen Sie eine Gleichung für die Ebene ε der Dachfläche auf und ermitteln Sie den Neigungswinkel α des Daches zur x-y-Koordinatenebene !
(3 BE)

d) Eine Lampe L befindet sich 1m über dem Mittelpunkt der Kante EH.
in welchem Punkt Po trifft ein Lichtstarhl von L durch den Punkt F die x-y-Koordinatenebene?
Geben Sie die Koordinaten des Punktes Po an!
(3 BE)

e) Durch den Mittelpunkt der Kante BC verläuft eine Parallele zur y-Achse. Auf dieser steht ein Kind so, dass es die Lampe L (aus Teilaufgabe d) gerade noch sehen kann.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Lage von T, damit das Viereck ein Parallelogramm ist ?
In welchem Abstand von der Kante BC muss sich das Kind mit einer Augenhöhe von 1 m aufstellen?
(3 BE)

f) Auf der Kante Fg existiert ein Punkt T so, dass gilt: .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T!
(2 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (1999)
Aufgabe 2.2: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1; 3; -2), B(-4; -3; -2), C(1; -3; -2) und D(2; -1; -2) gegeben.

a) Geben Sie eine Paramtergleichung der Ebene ε an, die die Punkte A, B und C enthält!
(1 BE)

b) Weisen Sie nach, dass der Punkt D in der Ebene ε (aus Teilaufgabe a) liegt!
(1 BE)

c) Zeigen Sie, dass A, B, C und D in dieser Reihenfolge ein gleichschenkliges Trapez bilden!
(2 BE)

d) Die beiden Diagonalen des Trapezes ABCD schneiden einander in einem Punkt M.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes M und die Größe des Winkels, unter dem sich die Diagonalen schneiden!
(3 BE)

e) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Trapezes ABCD 20FE beträgt!
(3 BE)

f)
Gegeben ist die Gerade g mit
.
Weisen Sie nach, dass g orthogonal zu ε (aus Teilaufgabe a) ist!
Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte S auf der Geraden g, sodass das Volumen der Pyramide ABCDS 48VE beträgt!
5 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (1999)
Aufgabe 2.3: Stochastik


In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. Eine Kugel ist mit der Ziffer 1 beschriftet. Drei Kugeln sind mit der Ziffer 3 beschriftet. Sechs Kugeln sind mit der Ziffer 6 beschriftet.

a) Der Urne werden zwei Kugeln nacheinander mit Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A := "Beide Kugeln haben die Aufschrift 6."
B := "Beide Kugeln haben die gleiche Aufschrift."


(4 BE)

b) Der Urne werden nun 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen entnommen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffer 3 mehr als einmal und weniger als viermal auftritt!
(2 BE)

c) Wie oft muss mit Zurücklegen mindestens gezogen werden, damit eine Kugel mit der Ziffer 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens einmal auftritt?
(2 BE)

d) Es wird folgendes Gewinnspiel vereinbart:
Für einen Einsatz von 1,10 Euro darf der Spieler Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen ziehen.
Das Spiel wird abgebrochen, wenn eine Kugel mit der Ziffer 6 oder eine Kugel mit einer Ziffer erscheint, die größer oder gleich der vorhergehenden ist.
Die zuletzt gezogene Kugel bestimmt den Auszahlungsbetrag.
Bei Ziffer 6 beträgt er ein Euro, bei Ziffer 3 zwei Euro und bei Ziffer 1 drei Euro.
Erhält der Spieler auf lange Sicht einen Gewinn?
(4 BE)

e) Ein Automat prüft die Qualität von vorgefertigten Kugeln. Von 100 Kugeln sind 3 unbrauchbar. Der Rest ist brauchbar. Der Automat irrt sich bei jeder seiner Entscheidungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Automat eine Kugel als unbrauchbar aussortiert?
(3 BE)
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(15 BE)