Grundkurs Mathematik (2000)
Aufgabe 1.1: Analysis


Gegeben ist die Funktion

f(x) = x (1 - ln x ).

a) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an!
(1 BE)

b) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrempunkte und Wendepunkte!
Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an!
(7 BE)

c) Skizzieren Sie den Garphen der Funktion im Intervall !
(2 BE)

d) Im Punkt N(e; 0) wird an den Graphen der Funktion f die Tangente t1 gelegt.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t1!
in Welchem Punkt Q muss die Tangente t2 an den Graphen von f gelegt werden, damit t2 senkrecht zur Tangente t1 verläuft?
(5 BE)

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
eine Stammfunktion von f ist!
(2 BE)

f) Der Graph der Funktion f, die Gerade mit der Gleichung y = -x + e und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie deren Flächeninhalt!
(4 BE)

g) Eine Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen der Funktion f in einem Punkt R(xR; f(xR)) mit xR < e und die x-Achse in einem Punkt S. Der Punkt O bezeichnet den Koordinatenursprung.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes R so, dass das Dreieck OSR maximalen Flächeninhalt annimmt!
Berechnen Sie diesen Inhalt!
(6 BE)

h) Durch den Punkt T (0; -e) verläuft eine zur Tangente t1 (aus Teilaufgabe d) parallele Gerade.
Berechnen Sie den Abstand dieser beiden zueinander parallelen Geraden!
(3 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (2000)
Aufgabe 1.2: Analysis


Gegeben ist die Funktion f durch

a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f symmetrisch zum Koordinatenursprung ist!
Untersuchen Sie das Verhalten für !
(3 BE)

b) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrempunkte und Wendepunkte!
Berechnen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!
(Auf den Nachweis der Wendepunkte wird verzichtet.)
(10 BE)

c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im Intervall !
Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an!
(3 BE)

d) Im Koordinatenursprung wird die Tangente t an den Graphen der Funktion f gelegt.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t!
Des Weiteren ist eine gerade g gegeben durch .
In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der Funktionen t und g?
(6 BE)

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
F(x) = 4 ln(x² + 9) + 2000      eine Stammfunktion von f ist!
(1 BE)

f) Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt P( 3; f(3)) schneiden die Koordinatenachsen in den Punkten Q (3; 0) und R ( 0; f(3)). Durch die Punkte O (0; 0), Q, P und R ist das Rechteck OQPR bestimmt.
Der Graph der Funktion f teilt die Fläche des Rechtecks OQPR in zwei Teilflächen A1 und A2.
Ermitteln Sie den Inhalt dieser Teilflächen A1 und A2!
(4 BE)

g) Für jedes , ist durch fa eine Funktion
gegeben.
Für welchen Wert des Paramters a hat der Graph der Funktion fa an der Stelle x = 1 eine waagerecht verlaufende Tangente?
(3 BE)
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(30 BE)


Grundkurs Mathematik (2000)
Aufgabe 2.1: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(11;2;7), B(11;10;1), F(6;6;4) und S(6;9;8) gegeben.

a) Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABF!
(3 BE)

b) Durch die Punkte A, B, F und S wird eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche ABF bestimmt.
Zeigen Sie, dass Die Strecke FS die Höhe der Pyramide ist!
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide ABFS!
(3 BE)

c) Bestimmen Sie den Winkel α zwischen der Seitenkante AS und der Grundkante AF der Pyramide ABFS!
(2 BE)

d) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und F. Auf der Geraden g liegt ein Punkt C derart, dass F Mittelpunkt der Strecke AC ist.
Die Gerade h verläuft durch die Punkte B und F. Auf dieser Geraden h liegt ein Punkt D derart, dass F Mittelpunkt der Strecke BD ist.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C und D!
Welches spezielle Viereck wird durch die Punkte A, B, C und D bestimmt?
Begründen Sie Ihre Aussage!
(4 BE)

e) Parallel zur y-Achse fallen Lichtstrahlen ein. Die Pyramide ABFS erzeugt auf der x-z-Ebene einen viereckigen Schatten.
Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A', B', F', S' des Schattens an!
Begründen Sie, dass das entstehende Viereck A'B'F'S' ein Trapez ist!
(3 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (2000)
Aufgabe 2.2: Analytische Geometrie


In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt P(-3; 5; 3) sowie die geraden g und h durch
und
gegeben.

a) Weisen Sie nach, dass der Punkt P nicht auf der Geraden g liegt!
Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε an, die durch den Punkt P und die Gerade g festgelegt ist!
(2 BE)

b) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind und ihre Richtungsvektoren zueinander orthogonal verlaufen!
(3 BE)

c) Die Gerade h durchstößt die Ebene ε (aus Teilaufgabe a) im Punkt D.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D!
(3 BE)

d) Eine Gerade k verläuft durch den Punkt P und schneidet die Gerade g im Punkt S(-2; 5; 2).
Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden k und g!
(2 BE)

e) Gegeben ist der Punkt .
Zeigen Sie, dass das Dreieck PQS gleichschenklig und rechtwinklig ist!
(2 BE)

f) Parallel zur Strecke PQ verläuft durch den Punkt S die Gerade t. Geben Sie für t eine Gleichung an!
Für welche Punkte U und V auf der Geraden t beträgt der Flächeninhalt der Tarpeze PQSU und PQVS jeweils 2FE?
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte U und V!
(3 BE)
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(15 BE)


Grundkurs Mathematik (2000)
Aufgabe 2.3: Stochastik


An einem Thüringer Gymnasium wählen 59% der Schüler das Grundfach Mathematik. Von diesen Schülern haben 38% das Grundfach Physik und 7% das Leistungsfach Physik belegt.
Unter den 41% der Schüler, die Mathematik als Leistungsfach wählten, belegten 36% das Grundfach Physik und 46% das Leistungsfach Physik.
Ein Schüler der Klassenstufe 11 aus diesem Gymnasium wird zufällig ausgewählt.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse!
A : = "Der Schüler hat sich sowohl für das Grundfach Mathematik als auch für das Grundfach Physik entschieden."
B : = "Der Schüler belegt das Grundfach Physik."
C : = "Der Schüler belegt weder das Leistungsfach Mathematik noch das Leistungsfach Physik."
Nutzen Sie ein Baumdiagramm!
(4 BE)

b) Die Schüler eines Grundfaches Physik müssen sich einem Test unterziehen. Daniel weiß die richtigen Antworten mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 80%. Paul hat sich nicht ausreichend vorbereitet. Seine Antworten stimmen mit jeweils 30%.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet Paul genau 10 von 20 gestellten Fragen richtig?
Auch Daniel werden 20 Fragen gestellt.
Mit wecher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 16 Fragen richtig?
Wie viele Fragen müssen Paul mindestens gestellt werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Frage richtig beantwortet?
(5 BE)

c) Im Praktikum des Leistungsfaches Physik entwickeln die Schüler eine Experimentieranordnung. Die Anordnung funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit p. Es wird festgestellt, das bei zweimaliger unabhängiger Hintereinanderausführung das Experiment mit einer Wahrscheinlichkeit von 19% mindestens einmal nicht gelingt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p!
(2 BE)

d) Am Nachmittag spielen Paul und Daniel karten. In einem Stapel von 15 gut durchmischten Karten befinden sich genau 4 Joker. Es wird folgendes Spiel vereinbart:
Nacheinander werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen und aufgedeckt. Ist unter den gezogenen Karten mindestens ein Joker, zahlt Daniel an Paul 5 Euro. Ist kein Joker unter den aufgedeckten Karten, erhält Daniel 5 Euro von Paul.
Welcher Spieler erhält auf lange Zeit einen Gewinn?
Damit das Spiel fair wird, müssen die Spielregeln geändert werden. Geben Sie eine Möglichkeit an!
(4 BE)
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(15 BE)