a)
Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf lokale Extrempunkte!
Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte!
Bestimmen Sie das Verhalten für
!
(8 BE)
b)
Der Graph von f besitzt genau einen Wendepunkt. Berechnen Sie dessen Koordinaten und stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Wendetangente t auf!
(Auf den Nachweis des Wendepunktes wird verzichtet.)
(4 BE)
c)
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion im Intervall -8 ≤ x ≤ 8 !
Geben Sie die Gleichung der beiden Asymptoten an!
(3 BE)
d)
Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die Punkte
A(-2;0) und Q(-4;-1).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden!
Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt S gemeinsam.
Berechnen Sie dessen Koordinaten!
(5 BE)
e)
Der Graph der Funktion h mit h(x) = -0,5x² + x + 2 hat mit dem Graph der Geraden g die Punkte B(-1;0,5) und C(2;2) gemeinsam.
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das von diesen beiden Graphen vollständig eingeschlossen wird!
(3 BE)
f)
Der Graph einer quadratischen Funktion q mit q(0)= q(2) = 4 hat in E(1;5) einen lokalen Extrempunkt.
Geben Sie die Gleichung dieser quadratischen Funktion q an!
Vergleichen Sie die Funktionen q und h miteinander!
(4 BE)
g)
Die Gerade g, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = u (u>2) begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck, das bei der Rotation um die x-Achse einen Kreiskegel erzeugt.
Für welche reellen Zahlen u beträgt das Volumen dieses Kegels
VE?
(3 BE)
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(30 BE)
Grundkurs Mathematik (2001)
Aufgabe 1.2: Analysis
Gegeben ist die Funktion f durch
y = f(x) = (2 - x) • ln(2 - x).
a)
Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an!
Untersuchen Sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und lokale Extrempunkte!
Geben Sie diese gegebenenfalls an!
(10 BE)
b)
Ermitteln Sie das Verhalten von f für
!
(1 BE)
c)
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im Intervall
!
(2 BE)
d)
Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
eine Stammfunktion von f ist!
(3 BE)
e)
Weisen Sie nach, dass der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten vom Graphen von f und den Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird,
FE beträgt
!
(3 BE)
f)
Der Graph einer quadratischen Funktion q verläuft durch den Punkt Po(0 ; 2ln2) und hat den Lokalen Minimumpunkt
.
Ermitteln Sie die Gleichung dieser Funktion!
Kontrollergebnis: q(x) = ln2 • (x² - 3x + 2)
(5 BE)
g)
Durch den Punkt P(u ; q(u) ) mit 0 < u < 1 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck.
Berechnen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird!
Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an!