Gegeben ist die Funktion y = f(x) = x ln(x) - 2x .
a)
Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an.
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrem- und Wendepunkte und geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaten an!
Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 0,1 ≤ x ≤ 8!
Begründen Sie unter Verwendung Ihrer Ergebnisse, dass
ist!
(12 BE)
b)
Weisen Sie nach, dass
eine Stammfunktion von f ist!
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der x-Achse sowie den Geraden mit der Gleichung x=1 und x=8 vollständig begrenzt wird!
(5 BE)
c)
Im Punkt P (e2 ; 0) wird dieTangente t an den Graphen von f gelegt.
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t!
Weisen Sie nach, dass die Gerade n mit der Gleichung y = n(x) = - x + e2 im Punkt P auf der Tangente t senkrecht steht.
Die Gerade n und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche A1. Die Gerade n, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = e begrenzen eine Fläche A2. Zeigen Sie, dass sich die Inhalte der beiden Flächen A1 und A2 wie e2 : (e2 - 1)2 verhalten!
(7 BE)
d)
Die Gerade h mit der Gleichung y = h(x) = x und der Graph der Funktion f haben genau einen Punkt gemeinsam.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes an!
Die Gerade x = u mit 0,1 ≤ u < e3 schneidet den Graphen von f im Punkt P1 und den Graphen von h im Punkt P2.
Untersuchen Sie, ob es ein u im angegebenen Intervall gibt, so dass die Strecke P1P2 maximale Länge hat!
(6 BE)
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(30 BE)
Grundkurs Mathematik (2003)
Aufgabe A 2: Analysis
Für jede reelle Zahl t ist eine Funktion ft gegeben durch
.
a)
Untersuchen Sie den Graphen von f-3 auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und lokale Extrempunkte!
Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an!
Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f-3 zwei Wendepunkte besitzt!
Skizzieren Sie den Graphen von f-3 in einem geeigneten Intervall!
(14 BE)
b)
Eine Gerade g verläuft durch den Punkt P(0 ; f-3(0) ) und senkrecht zur Tangente h an den Graphen von f-3 in diesem Punkt.
Die Tangente h, die Gerade g und die x-Achse begrenzen ein Dreieck.
Bestimmen Sie die Größe der Innenwinkel und den Flächeninhalt des Dreiecks!
Bei der Rotation dieses Dreiecks um die x-Achse entsteht ein Körper.
Berechnen Sie dessen Volumen!
(8 BE)
c)
Weisen Sie nach, dass die Funktion F t mit
eine Stammfunktion von f t ist!
In welchem Verhältnis teilt die y-Achse die Fläche, die der Graph der Funktion f-3 und die x-Achse vollständig einschließen!
(5 BE)
d)
Untersuchen Sie, für welche Werte von t gilt:
Der Graph der Funktion f t besitzt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, aber zwei lokale Extrempunkte.