Wir berechnen zunächst zum weiteren Gebrauch die Ableitungen von f(x) nach der Produktregel:
a) Nullstellen:
Wir setzen
und damit
.
Wegen
betrachten wir nur die Gleichung
. Entweder nutzt man die binomische Formel
oder man löst die Gleichung
mittels Lösungsformel.
Wir finden also die (Doppel) Nullstelle xo = 2.
xo = 2
b) Extrempunkte:
Wir setzen die 1. Ableitung Null und erhalten:
Wegen
reicht die Betrachtung der Gleichung
. Wir erhalten:
und damit x1 = 0 und x2 = 2. Wegen
und
liegt bei 0 ein Hochpunkt und bei 2 ein Tiefpunkt vor. Mit f(0) = 2 und f(2) = 0 können wir deren Koordinaten angeben.
H ( 0 | 2 )
T( 2 | 0 )
c) Wendepunkte:
Wir setzen als notwendige Bedingung die 2. Ableitung 0.
Wegen
reicht die Betrachtung der Gleichung
deren Lösungen mit
gegeben sind.
Nun untersuchen wir, ob die notwendige Bedingung
erfüllt ist. Wir erhalten
.
Mit
und
ergeben sich schließlich die Wendepunkte:
W1 ( 1,414 | 0,706 )
W2 ( -1,414 | 1,417 )
d) f(-3); f(3) und Schaubild
Die Funktionswerte betragen:
f (-3) = 0,622
f (3) = 10,043
Zum Skizzieren des Schaubildes des Graphen der Funktion sollte man auf die bereits berechneten Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte zurückgreifen.
d) Stammfunktion
Wir wenden die Produktregel an und erhalten
.
e) Fläche unter f(x)
Dafür nutzen wir natürlich die Stammfunktion aus d) und die Nullstelle aus a) und erhalten:
.
A = 2,389
d) Quotient
Wir setzen einfach die entsprechenden Gleichungen ein und vereinfachen.
Der Wert der Konstanten beträgt also 3.
k = 3
e) Flächeninhalt des Dreiecks
Wir stellen zunächst Haupt- und Nebenbedingung auf.
Hauptbedingung:
Nebenbedingungen:
und
Dies führt auf die Zielfunktion
deren Ableitungen mittels Produktregel bestimmt werden.
Vor der Bestimmung des Extremwertes weisen wir die Gültigkeit der Gleichung
entsprechend der Aufgabenstellung nach. Wegen der Gleichheit der Faktoren
reicht es zu zeigen
.
Wie man unschwer erkennt gilt:
.
Somit sind die Nullstellen von A' (x) mit
1, 2 und -2 gegeben. Für unser Problem kommt nur xp = 1 in Betracht, da die anderen Werte außerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen. Mit
ist auch die notwendige Bedingung für ein lokales Maximum erfüllt. Wie man sich leicht überzeugt, übersteigen die Randpunkte
und
den Extremwert nicht, d.h. der Extremwert ist wirklich Lösung der Problemstellung.
Mit
ergibt sich der gesuchte Punkt
des Dreiecks.