Tetraeder im W�rfel

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Aufgabe:

Es sei ABCDEFGH ein Würfel mit üblicher Beschriftung. M₁ bezeichne den Mittelpunkt der Deck- und M₂ den Mittelpunkt der Grundfläche.

a) Welche Schnittfigur bilden die Pyramiden ABCDM₁ und EFGHM₂?
b) Man berechne das Volumen des Schnittkörpers in Abhängigkeit von der Kantenlänge a.
c) Man bestimme die Oberfläche des Schnittkörpers in Abhängigkeit von a.

Lösung:

a) Als Schnitt der beiden Pyramiden erhält man ein Oktaeder entsprechend obiger Abbildung.
b) Die Schnittfigur besteht aus 2 Pyramiden deren Grundfläche

A_{G} = \frac{a^{2}}{2}

beträgt. Folglich ergibt sich für das Volumen des Schnittkörpers

V = \frac{2}{3} A_{G} \cdot h = \frac{2}{3} \frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{6}

.

c) Der Oberflächeninhalt berechnet sich mit

A_{o} = 8 A_{Δ} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} a \cdot \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{4} a)^{2} + (\frac{a}{2})^{2}} = 2 \sqrt{2} a \sqrt{\frac{3}{8}} a = \sqrt{3} a^{2}