Duale Köper im Würfel

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Aufgabe:

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Oktaeders.
Die Mittelpunkte der Seitenflächen des Oktaeders sind Eckpunkte eines neuen Würfels.
In welchem Verhältnis stehen die Volumina der Körper?

Lösung:

Wir betrachten den Oktaeder als Doppelpyramide mit der Grundläche

\frac{a^{2}}{2}

und der Höhe

\frac{a}{2}

. Damit ergibt sich

\frac{V_{W}}{V_{o}} = \frac{6}{1}

.

Mittels Zweitafelprojektion erkennt man, dass die Kantenlänge des inneren Würfels genau ein Drittel der Kantenlänge des äußeren Würfels beträgt. Folglich gilt

\frac{V_{W}}{V_{W_{i}}} = \frac{27}{1}

.
Dies ergibt in fortlaufender Schreibweise

V_{W} : V_{o} : V_{w_{i}} = 27 : \frac{27}{6} : 1 = 27 : \frac{9}{2} : 1