Geschnittener Würfel

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Aufgabe:

Abb. 1:

Ein Würfel wird von Ebenen geschnitten und es entsteht ein Restkörper wie in Abbildung 1 dargestellt (Zweitafelbild mit Aufriss und Grundriss).
a) Man bestimme den Restkörper und zeichne ein geeignetes Schrägbild.
b) Man berechne das Volumen in Abhängigkeit von der Kantenlänge a des Würfels.
c) Man bestimme die Oberfläche des Restkörpers.

Lösung:

a) Als Restkörper erhält man ein unregelmäßiges Oktaeder.

b) Das Volumen des Restkörpers entspricht dem Volumen des Würfels vermindert um das Volumen zweier Pyramiden. Folglich erhält man

V = a^{3} - 2 \cdot \frac{1}{3} A_{G} \cdot h = a^{3} - \frac{2}{3} \frac{a^{2}}{2} \cdot a = a^{3} - \frac{a^{3}}{3} = \frac{2}{3} a^{3}

.

c) Der Restkörper besitzt 6 Seitenflächen mit

A = \frac{a^{2}}{2}

und 2 Seitenflächen mit

A = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}

. Damit ergibt sich

A_{o} = 3 a^{2} + \sqrt{3} a^{2} = (3 + \sqrt{3}) a^{2}