Eine weitere Möglichkeiten zur Berechnung des Spiegelpunktes bietet die Ermittlung des Lotfußpunktes mittels Skalarprodukt.
9. Lage von Punkten auf Geraden, Ebenen und in Körpern
Ebenso wie die Berechnung von Spiegelpunkten gehört die Untersuchung der Lage von Punkten bezüglich von Strecken und Dreieck zu den Standardaufgaben in Prüfungen.
Für derartige Lagebeziehungen lassen sich Bedingungen für die Parameter der zugehörigen Gleichungen ableiten und nachprüfen.
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Strecke
P liegt auf g (Punktprobe) |
Dreieck
P liegt in ε (Punktprobe) |
Pyramide ABCS
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10. Zusammenfassung Probleme und Lösungsstrategien
10.1 Aufstellen von Gleichungen
| Objekt | Vorgehen | Gleichungen |
| Gerade |
Es seien 2 Punkte A und B gegeben.
- - Beispiel |
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| Ebene |
Es seien 3 Punkte A, B und C gegeben.
- - - Beispiel |
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Es seien 3 Punkte P,Q und R gegeben.
- die Punkte genügen einer allgemeinen Ebenengleichung Ax + By + Cz + D = 0 - durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Ebenengleichung erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 4 Variablen (A,B,C,D) - die Lösung des Gleichungssystems liefert die Koeffizienten A,B,C und D |
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Es sei die Parameterform einer Ebenengleichung gegeben.
- die Parameterform liefert ein Gleichungssystem für die Koordinaten x,y und z - die Eliminierung der Parameter ergibt eine parameterfreie Ebenengleichung Beispiel |
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Es sei die Parameterform einer Ebenengleichung gegeben.
- man bestimmt einen zur Ebene normalen Vektor (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) - die Koordinaten des Vektors sind die Koeffizienten A,B und C der Ebenengleichung - Einsetzen eines Punktes der Ebene (Stützvektor) liefert den Koeffizienten D Beispiel |
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10.2 Lagebeziehungen
10.2.1 Schnittpunkte, Schnittgeraden und Schnittwinkel
| Objekte | Schnittpunkt/Schnittgerade | Schnittwinkel |
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Beispiel |
- Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen, es entsteht ein Gleichungssystem mit 2 Variablen (den Parametern) und 3 Gleichungen
- gibt es zwei nichtidentische Gleichungen, so werden aus diesen die Parameter berechnet, anderenfalls sind die Geraden identisch - mit den berechneten Parametern werden in beiden Geradengleichungen Punkte berechnet, sind diese identisch, so ist es der Schnittpunkt, anderenfalls sind die Geraden windschief |
Der Schnittwinkel
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Beispiel |
- Koordinaten der Geradengleichung in parameterfreie Ebenengleichung einsetzen
- Parameter und damit Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) berechnen - Probe in Geradengleichung und Ebenengleichung durchführen |
Der Schnittwinkel ergibt sich aus dem Winkel zwischen Richtungsvektor
Achtung: sin, da der Normalenvektor senkrecht auf den benötigten Richtungsvektor der Ebene steht |
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Beispiel |
- Koordinaten der Ebenengleichung in parameterfreie Ebenengleichung einsetzen
- einen Parameter berechnen (in Äbhängigkeit des zweiten Parameters) - aus der Parameterdarstellung der Ebenen die Geradengleichung berechnen oder - aus zwei parameterfreien Ebenengleichungen Variable eliminieren - Koordinaten zweier verschiedener Schnittpunkte berechnen - aus den Schnittpunkten Gleichung der Schnittgeraden aufstellen |
Der Schnittwinkel ergibt sich aus dem eingeschlossenen Winkel der Richtungsvektor
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10.2.2 Abstände und Lotfußpunkte
| Objekte | Abstand | Lotfußpunkt |
| Punkt - Gerade |
- Verbindungsvektor Punkt-Gerade aufstellen
- Skalarprodukt mit Richtungsvektor der Geraden bilden und 0 setzen - Parameter und damit Lotfußpunkt auf der Geraden berechnen - Abstand Lotfußpunkt - Punkt ermitteln Beispiel |
Der Lotfußpunkt ergibt sich aus der Abstandsberechnung. |
| Ebene - Ebene |
- Ebenengleichungen in Hessescher Normalform angeben
Abstand = Beispiel |
Jeder Punkt der Ebene kann als Lotfußpunkt gewählt werden. Der zugehörige Lotfußpunkt in der zweiten Ebene ergibt sich durch Addition des Abstandsvektors. |
| Punkt - Ebene |
- Hessesche Normalform der Ebenegleichung ermitteln
- Hessesche Normalform der parallelen Ebene, die den gegebenen Punkt enthält aufstellen - Abstand der Ebenen berechnen Beispiel |
Der gegebene Punkt und ein zur Ebene orthogonaler Vektor bestimmen eine Gerade. Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene.
Beispiel |
| parallele Gerade -Ebene |
- beliebigen Punkt der Geraden auswählen (Stützvektor)
- Abstand Punkt - Gerade berechnen Beispiel |
Jeder Punkt der Geraden kann als Lotfußpunkt gewählt werden. Die Berechnung des zugehörigen Lotfußpunktes in der Ebene erfolgt analog Punkt - Gerade. |
| windschiefe Geraden |
- Aufstellen der Gleichungen paralleler Ebenen, die jeweils eine Gerade enthalten
- Berechnen des Abstandes der parallelelen Ebenen Beispiel |
Der Abstandsvektor steht senkrecht auf beiden Geraden. Wird dieser mit den Parametern der Geradengleichungen aufgestellt, so ist sind die Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren der Geraden 0. Das sich daraus ergebende Gleichungssystem liefert die Parameter und damit die Lotfußpunkte.
Beispiel |
| parallele Geraden |
- Auswahl eines beliebigen Punktes einer Geraden (Stützvektor)
- Berechnen des Abstandes Punkt - Gerade Beispiel |
Jeder Punkt einer Geraden kann als Lotfußpunkt gewählt werden. Der zugehörige Lotfußpunkt der anderen Geraden ergibt sich durch Addition des Abstandsvektors. |
11. Erstellen von 3D Grafik/Ausführen von Berechnungen
Alle Grafiken wurden mit dem Programm Geostar 3D erstellt. Viele Berechnungen der analytischen Geometrie können ebenfalls mit dieser Software ausgeführt werden. Informationen zu dieser Software erhalten Sie unter
Anhang
1. Interaktive Modelle