Herleitung der Formel zur Abstandberechnung Punkt - Ebene

Wir nutzen die etwas gewöhnungsbedürftigen Bezeichnungen des Tafelwerkes.
Es bezeichne  vo &to;  den Stützvektor der Ebene und   vr &to;  den Richtungsvektor des Punktes R sowie  v &to; =  vr &to; -  vo &to;  und  no &to;  den Normaleneinheitsvektor der Ebene.

Vollbild

In dem in der Grafik blau gefärbtem Dreieck gilt entsprechend der Kosinusbeziehung im rechtwinkligen Dreieck

d = | d &to; | = | v &to; | · cosα  ,
wobei α den von den Vektoren   v &to;  und   d &to;  eingeschlossenen Winkel beschreibt.

Wegen

| (  vr &to; -  vo &to; ) ·  d &to; | = |  vr &to; -  vo &to; | · |  d &to; | · cosα
gilt

d = |  vr &to; -  vo &to; | · cosα   =  |  vr &to; - vo &to; | · |  d &to; | · cosα |  d &to;|   = |(  vr &to; -  vo &to; ) ·  no &to;|  .

d = | (  vr &to; -  vo &to; ) ·  no &to; |