Formel Abstand Punkt - Gerade Herleitung der Formel zur Abstandberechnung Punkt - Gerade

Wir nutzen die etwas gewöhnungsbedürftigen Bezeichnungen des Tafelwerkes.

Punkt R:   OR &to; =  vr &to;
Stützvektor der Geraden:   vo &to; 
 v &to; =  vr &to; -  vo &to;

Vollbild


In dem in der Grafik blau gefärbtem Dreieck gilt entsprechend der Sinusbeziehung im rechtwinkligen Dreieck

d = | v &to; | · sinα  ,

wobei α den von den Vektoren   r &to;  und   v &to;  eingeschlossenen Winkel beschreibt.

Wegen

|  r &to; x  v &to; | = |  r &to; | · |  v &to; | · sinα

gilt

d = |  v &to; | · sinα   =  |  v &to; | · |  r &to; | · sinα |  r &to;|   = | v &to; x  r &to;|| r &to;|  .



d = | (  vr &to; -  vo &to; ) x  r &to; || r &to;|