Herleitung der Hesseschen Normalform
Wir nutzen folgende Bezeichnungen:
n &to; = (nx ny nz )
- Normaleneinheitsvektor der Ebene ε
X &to; = (xyz)
- Ortsvektor eines Punktes P(x|y|z) der Ebene ε
N &to; = (Nx Ny Nz )
- der normale (orthogonale) Stützvektor der Ebene ε.
Es seien
N&to;
und
n&to;
gleich orientiert.
Für einen in der Ebene ε liegenden Vektor
e &to;
gilt
e &to; · n &to; = 0
Mit dem Ortsvektor
X &to;
eines Punktes der Ebene ε und dem orthogonalem Stützvektor
N &to;
erhält man
e &to; = - N &to; + X &to; = X &to; - N &to;
und damit
e &to; · n &to; = ( X &to; - N &to;) · n &to; = X &to; · n &to; - N &to; · n &to; = 0
.
Mit
X &to; · n &to; = nx x + ny y + nz z
und
N &to; · n &to; = | N &to;|
ergibt sich die Hessesche Normalform
nx x + ny y + nz z - | N &to;| = 0
.
Diese Gleichung erlaubt eine Interpretation der allgemeinen Ebenengleichung
A x + B y + C z + D = 0 .
(1) Die Koeffizienten A,B und C sind Koordinaten eines zur Ebene ε orthogonalen Vektors.
(2) Gilt
A2 + B2 + C2 = 1
, so gibt |D| den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung an.
Man muss also den normierten Normalenvektor
n&to; = (nx ny nz )
genau
|N&to;| = -D
mal vom Ursprung abtragen, um die Ebene zu berühren.
(3) Durch Normierung, d.h. durch Division der allgemeinen Ebenengleichung durch
A2 + B2 + C2
ergibt sich die Hessesche Normalform der Ebenengleichung.
Bsp.:
Für die Gleichung 2x -3y + 5z - 18 = 0 ergibt sich der normierte Normalenvektor mit
η =138 · (2-35)
. Dieser ist genau
1838 ≈ 2,92
mal vom Ursprung abzutragen, um die Ebene zu berühren.