Grundbegriffe der Vektorrechnung
Grundbegriffe der Vektorrechnung















Inhaltsverzeichnis

  1. Der anschauliche Vektorbegriff
  2. Addition und Vielfachbildung
  3. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
  4. Der Betrag eines Vektors
  5. Das Skalarprodukt
  6. Das Vektorprodukt
  7. Das Spatprodukt
  8. Der Vektorraum
  9. Die Basis eines Vektorraumes
10. Geometrische Beweise mit Vektoren
11. Erstellen von 3D Grafik/Vektorrechnung



1. Der anschauliche Vektorbegriff

Aus der Physik und Technik sind eine ganze Reihe von Größen bekannt, die nicht allein durch Angabe eines Zahlenwertes beschrieben werden können. Dazu gehören die Kraft, Geschwindigkeit und der Druck. Diesen Größen ist gemeinsam, dass sie stets mit einer bestimmten Wirkungsrichtung verbunden sind. Folglich ist es naheliegend, diese Größen durch Pfeile zu beschreiben. Die Pfeillänge drückt den Zahlenwert, also den Betrag der Größe aus, der Pfeil als Strecke kennzeichnet die Richtung ( also die Menge aller zu dieser Strecke parallelen Geraden) und die Pfeilspitze gibt den Richtungssinn (Orientierung) auf diesen Geraden an.
In der Mathematik spielt der Angriffspunkt keine Rolle. Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich langen und gleich gerichteten (also parallelen) Pfeile.
Ein einzelner Pfeil wird als Repräsentant des Vektors bezeichnet. Der Repräsentant eines Vektors, dessen Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist, wird als Ortsvektor bezeichnet.

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

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2. Addition und Vervielfachung

Aus der anschaulichen Darstellung von Vektoren mittels Pfeilen ist ersichtlich, dass ein Vektor durch Aneinanderlegen (evt. auch von Teilen) vervielfacht werden kann. Dabei bleibt die Richtung des Vektors (d.h. die Menge der parallelen Geraden) erhalten, Richtungssinn (Orientierung auf der Geraden) und Betrag (also Pfeillänge) können sich ändern. Im Koordinatensystem entspricht die Vervielfachung der Multiplikation der Koordinaten des Vektors mit einer rellen Zahl. Vektoren, die durch Verviellfachung auseinander hervorgehen, sind parallel.
Werden verschiedene Vektoren aneinandergelegt, so spricht man von der Addition der Vektoren. Der Pfeil, der die Summe zweier Vektoren beschreibt,, ergibt sich als Vebindung des Anfangspunktes des ersten Pfeiles mit dem Endpunkt des zweiten Pfeiles. Im Koordinatensystem entspricht dies der Addition der Koordinaten der Vektoren.

  a &to; =(xyz)                                                    r ·  a &to; = (r xr yr z)        r ∈ ℝ

  a &to; =(ax ay az ) ;  b &to; =(bx by bz )                           a &to; +  b &to; = (ax + bx ay + by az + bz )  
Bsp.:

 a &to; = (342)                   32   a &to; = (32· 332· 432· 2 )   =  (4,563)

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Bsp.:

  a &to; = (243)          b &to; = (-322)         a &to; +  b &to; = (243)  + (-322) = (2-34+23+2) = (-165) 

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Eigenschaften:

(1)   a &to; +  b &to; =  b &to; +  a&to;             (Kommutativgesetz)

(2) ( a &to; +  b &to;) +  c &to; =  a &to; + ( b &to; +  c &to;)        (Assoziativgesetz)

(3) Es gibt einen Nullvektor  o &to; . Für alle Vektoren  a &to;  gilt:   a &to; +  o &to; =  a &to;.      (Neutrales Element der Addition)

(4) Zu jedem Vektor  a &to; gibt es einen entgegengesetzten Vektor. Für alle Vektoren  a &to;  gilt:    a &to; + (- a &to;) =  0 &to;       . (Inverses Element)

(5)  r( s  a &to; ) = (r s)  a &to;       (Assoziativgesetz Multiplikation)

(6) r (  a &to; +  b &to; ) = r  a &to; + r  b &to;         (1. Distributivgesetz)

(7)  (r + s )  a &to; = r  a &to; + s  a &to;                  (2. Distributivgesetz)

(8)  1 ·  a &to; =  a &to;           (Neutrales Element der Multiplikation)


3. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Die lineare Abhängigkeit drückt aus, dass sich ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren darstellen läßt.

Definition:

Vektoren  a1 &to;, ... ,  an &to;  heißen linear unabhängig, wenn sich aus ihnen der Nullvektor nur auf triviale Art erzeugen läßt, d.h.

 r1 ·  a1 &to; + ... + rn ·  an &to; = 0      ⇒       r1 = ... = rn = 0 

Anderenfalls heißen die Vektoren linear abhängig.
Folgerungen:

Sind n Vektoren linear abhängig, so ist mindestens einer dieser n Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar.

Liegen die Repräsentanten von zwei Vektoren auf einer Geraden (kollineare Vektoren), so sind die Vektoren linear abhängig.

Liegen die Repräsentanten von 3 Vektoren in einer Ebene (komplanare Vektoren), so sind die Vektoren linear abhängig.

4 Vektoren des (dreidimensionalen) Raumes sind immer linear abhängig.
Bsp.:

Sind die Vektoren   a &to; = (431),     b &to; = (-233)   und     c &to; = (563),            linear unabhängig?
Man versucht einen Vektor durch die anderen darzustellen und nutzt z. Bsp. den Ansatz r ·  a &to; + s ·  b &to; =  c &to;  . Besitzt das sich ergebene Gleichungssystem eine Lösung, so sind die Vektoren abhängig, anderenfalls unabhängig.

r · (431) + s · (-233) =(563)

4r - 2s = 5
3r + 3s = 6
1r + 3s = 3

 ⇒    r = 1,5        s = 0,5     1,5  a &to; + 0,5  b &to; =  c &to;

Die Vektoren  a &to;,  b &to;  und  c &to;  sind also linear abhängig.

Eine weitere Möglichkeit zur Untersuchung der linearen (Un-)Abhängigkeit von 3 Vektoren bietet das Spatprodukt.


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Komplanare Punkte liegen in einer Ebene, komplanare Vektoren besitzen Repräsentanten, die in einer Ebene liegen.
Kollineare Punkte liegen auf einer Geraden, kollineare Vektoren besitzen Repräsentanten, die auf einer Geraden liegen.


4. Der Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors beschreibt anschaulich die "Pfeillänge". Der Betrag kann berechnet werden, indem man den Vektor als Diagonale eines Quaders mit den Seitenlängen x, y, z betrachtet. Die Berechnung beruht also auf dem Satz des Pythagoras.

Definition:

  a &to; = (xyz)                      |   a &to;  |  = x2 + y2 + z2      
Bsp.:

  a &to; = (342)            |   a &to;  |  =  32 + 42 + 22   = 29 ≈ 5,385  
Eigenschaften:

 |  a &to; | ≥ 0  

 | r  a &to; | = | r | · |  a &to; |     r ∈ ℝ    

 |  a &to; +  b &to; | ≤ |  a &to; | +  b &to; |  

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5. Das Skalarprodukt

Es zeigt sich, dass neben der Addition weitere Rechenoperationen für Vektoren sinnvoll definiert werden können. Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl (Skalar) zu. Es ermöglicht, effektiv Winkel zwischen Vektoren zu bestimmen. Insbesondere ist es geeignet, die Orthogonalität von Vektoren zu untersuchen.
Geometrisch kann das Skalarprodukt als Produkt der Streckenlänge der Projektion des einen Vektors auf den zweiten, multipliziert mit dem Betrag des zweiten Vektors, gedeutet werden.

Es sei α der von den Vektoren  a &to; = (ax ay az )  und  b &to; = (bx by bz )  eingeschlossene Winkel.

  a &to; ·  b &to; = |  a &to; | · |  b &to; | · cos α = ax · bx + ay · by + az · bz 
Bsp.:

  a &to; = (-243)        b &to; = (221)            a &to; ·  b &to; = -2 · 2 + 4 · 2 + 3 · 1 = 7

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Eigenschaften:

  a &to; ·  b &to; =  b &to; ·  a &to;

(t  a &to;) ·  b &to; = t ( a &to; ·  b &to;)

 a &to; · ( b &to; +  c &to;) =  a &to; ·  b &to; +  a &to; ·  c &to;

 a &to; 2 = |  a &to; |2 ≥  0

  a &to; ·  b &to; = 0    ⇔      a &to; ⊥  b &to;


6. Das Vektorprodukt

Nachdem das Skalarprodukt zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnete, entsteht mittels Vektorprodukt aus zwei Vektoren ein neuer Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf den Ausgangsvektoren.
Der Betrag des Vektorproduktes entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes.
Das Vektorprodukt ist geeignet, effektiv mit Ebenengleichungen zu arbeiten.

Es sei α der von den Vektoren  a &to; = (ax ay az )  und  b &to; = (bx by bz )  eingeschlossene Winkel.

  a &to; ×  b &to; =  (ay bz - az by az bx - ax bz ax by - ay bx )                    |  a &to; ×  b &to; | = |  a &to; | · |  b &to; | · |sin α| 
Bsp.:

  a &to; = (221)        b &to; = (-122)            a &to; ×  b &to; = (2·2-1·21·(-1)-2·22·2-2·(-1)) = (2-56)

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Eigenschaften:

 a &to; ×  a &to; = o

 a &to; ×  b &to; = -  b &to; x  a &to;     (Antikommutativität)

(r ·  a &to;) ×  (s ·  b &to;) = (rs) ( b &to; ×  a &to;)      (Multiplikation mit reellen Zahlen)

 a &to; × ( b &to; +  c &to;) =  a &to; ×  b &to; +  a &to; × c &to;      (Distributivitätsgesetz)

( a &to; ×  b &to;) ×  c &to; + ( b &to; ×  c &to;) ×  a &to; + ( c &to; ×  a &to;) ×  b &to; = 0     (Jacobische Identität)

Das Vektorprodukt ist weder kommutativ noch assoziativ.

Der Betrag des Vektorprodukts entspricht dem doppelten Flächeninhalt des von beiden Vektoren aufgespannten Dreiecks.


7. Das Spatprodukt

Das Spatprodukt ordnet drei Vektoren eine reelle Zahl zu. Es ist eine Verknüpfung von Vektor- und Skalarprodukt.
Das Spatprodukt gibt das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spates (= Parallelepiped) an.

Es seien  a &to; = (ax ay az )  ,  b &to; = (bx by bz )  und  c &to; = (cx cy cz )  drei Vektoren, die ein Spat aufspannen.

 ( a &to; ×  b &to; ) ·  c &to; = (ay bz - az by )cx + (az bx - ax bz )cy + (ax by - ay bx )cz 
Bsp.:

  a &to; = (341)        b &to; = (-222)        c &to; = (-114)   

 ( a &to; ×  b &to;) ·  c &to; = (4·2-1·2)·(-1) + (1·(-2)-3·2)·1 + (3·2-4·(-2))·4 = 42

Das von den Vektoren  a &to; ,  b &to;  und  c &to;  aufgespannte Spat hat also ein Volumen von 42 VE.

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Eigenschaften:

( a &to; ×  b &to;) ·  c &to; = 0 ⇔    Die Vektoren sind linear abhängig.

(d.h. sie liegen in einer Ebene, sind komplanar)

VSpat = ( a &to; ×  b &to;) ·  c &to;   (Volumen des von den Vektoren  a &to;,  b &to;,  c &to;  aufgespannten Spates)

VPyramide =16 ( a &to; ×  b &to;) ·  c &to;   (Volumen der von den Vektoren  a &to;,  b &to;,  c &to;  aufgespannten Pyramide)



8. Der Vektorraum

Die Betrachtung von Vektoren erfolgte ausgehend von anschaulichen Beispielen (Pfeile) und führte zu einer Reihe bemerkenswerter Eigenschaften (siehe 2.)
Es zeigt sich, dass eine ganze Reihe von Mengen existieren, auf welchen zwei Operationen definiert sind, die genau den festgestellten Eigenschaften genügen. Diese Erkenntnis führt zur Definition des Vektorraumes.
Die große Bedeutung des Begriffes "Vektorraum" liegt darin, dass alle allgemein nachgewiesenen Eigenschaften für jeden beliebigen Vektorraum gelten.
Die Abstraktion führt also zu einer erheblichen Einsparung an Rechenaufwand und zu tieferen Einsichten in die Struktur konkreter Mengen.

Es sei V eine nichtleere Menge, für deren Elemente eine Addition (Vektoraddition) + und eine Vervielfachung ·  (Skalarmultiplikation) definiert sind. Das Tripel (V, + , · ) nennt man Vektorraum und die Elemente der Menge V Vektoren, wenn nachfolgende Eigenschaften für beliebige Elemente gelten:

(1)   a &to; +  b &to; =  b &to; +  a&to;  (Kommutativgesetz)

(2) ( a &to; +  b &to;) +  c &to; =  a &to; + ( b &to; +  c &to;)        (Assoziativgesetz)

(3) Es gibt einen Nullvektor  o &to; . Für alle Vektoren  a &to;  gilt:   a &to; +  o &to; =  a &to;.      (Neutrales Element der Addition)

(4) Zu jedem Vektor  a &to; gibt es einen entgegengesetzten Vektor. Für alle Vektoren  a &to;  gilt:    a &to; + (- a &to;) =  0 &to;       . (Inverses Element)

(5)  r( s  a &to; ) = (r s)  a &to;       (Assoziativgesetz Multiplikation)

(6)  r (  a &to; +  b &to; ) = r  a &to; + r  b &to;         (1. Distributivgesetz)

(7)  (r + s )  a &to; = r  a &to; + s  a &to;                  (2. Distributivgesetz)

(8)  1 ·  a &to; =  a &to;           (Neutrales Element der Multiplikation)
Unter Nutzung des Gruppenbegriffes kann die Definition kürzer gefasst werden.

Das Tripel (V, + , ·)  , bestehend aus der nichtleeren Menge V, einer Abbildung V x V &to; V  (Vektoraddition) und einer Abbildung K x V &to; V  (Skalarmultiplikation); r,s ∈  K;  a &to;,  b &to; ∈ V  mit den Eigenschaften

(1) (V, +) ist eine abelsche Gruppe

(2)  r( s  a &to; ) = (r s)  a &to;       (Assoziativgesetz Multiplikation)

(3) r (  a &to; +  b &to; ) = r  a &to; + r  b &to;         (1. Distributivgesetz)

(4)  (r + s )  a &to; = r  a &to; + s  a &to;                  (2. Distributivgesetz)

(5)  1 ·  a &to; =  a &to;           (Neutrales Element der Multiplikation)

heißt linearer Vektorraum.

Bsp.:
- die Vektoren des "anschaulichen Vektorraumes" (Pfeilmodell) mit Vektoraddition und Vervielfachung
- Polynome über einer Unbestimmten
- die Menge der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation
- die Menge der komplexen Zahlen c = a + bi

Mit dem Strukturbegriff "Vektorraum" endet der Vektorbegriff der Abiturstufe und beginnt die Algebra im eigentlichen Sinne. Hier steht nicht mehr das numerische bzw. symbolische Rechnen im Vordergrund, sondern die Untersuchung der Struktur von Mengen, also die "Durchschaubarkeit bis in die Tiefe" (Bourbaki).


9. Die Basis eines Vektorraumes

Die Vektoren eines Vektorraumes sollen möglichst einfach, mit Hilfe weniger "Basisvektoren" ausgedrückt werden. Dies führt zum Begriff der Basis eines Vektorraumes.

Die Menge L = {r1 ·   a1 &to; + ... + rn ·  an &to; | r1 , ... , rn ∈ ℝ}  heißt Menge der Linearkombinationen der Vektoren  ai &to;  .
Gilt L = V und sind die Vektoren  a1 &to;, ... , an &to;  linear unabhängig, so bilden diese Vektoren eine Basis des Vektorraumes (V, + , · )
Die Zahl n heißt Dimension des Vektorraumes und ist unabhängig von der gewählten Basis.
Bsp.:
   a &to; = 3 ·  ex &to; +5 ·  ey &to; + 4 ·  ez &to;  = (354)  

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10. Geometrische Beweise mit Vektoren

Einige elemtargeometrische Beweise lassen sich unter Nutzung von Vektoren wesentlich kürzer bzw. eleganter führen.
Die Beweise basieren überwiegend auf dem Prinzip des Vektorzuges und dem Skalarprodukt.

10.1 Beweise mittels Vektorzug

Als Beispiel beweisen wir die bekannten Eigenschaften des Schwerpunktes eines Dreiecks.

Voraussetzung:  a &to; +  b &to; +  c &to; = 0 
(siehe Skizze)
Behauptung: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und teilen sich im Verhältnis 1:2.

Beweis:
Wir zeigen, dass sich die entsprechenden Vielfache der Seitenhalbierenden zu 0 addieren (geschlossener Vektorzug).


12c&to; +13sc &to; +23sa &to; 

=12c&to; +13(12c&to; + a&to;) +23(12a&to; + b&to; )

=12c&to; +16c&to; +12a&to; +16a&to; +23b&to;

=23c&to; +23a&to; +23b&to; = 23( a&to; + b&to; +c&to; ) = 0 

Die analoge Rechnung für die Seitenhalbierenden sa  und sb  schließt den Beweis ab.


10.2 Beweise mit dem Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt werden naturgemäß Aussagen über rechte Winkel bewiesen.

Voraussetzung:
 a &to; =  c &to;        und            b &to; =  d &to;
(siehe Skizze)


Behauptung: Die Diagonalen eines Rhombus stehen zueinander senkrecht.

 e &to; ·  f &to; = ( a &to; +  b &to; ) · ( a &to; -  b &to; )
             =  a &to; ·  a &to; -  b &to; ·  b &to;
             = | a &to;|2 - | b &to;|2 
             = 0 

⇒  e &to; ⊥  f &to;


11. Erstellen von 3D Grafik/Vektorrechnung

Alle Grafiken wurden mit dem Programm Geostar 3D erstellt. Informationen zu dieser Software erhalten Sie unter

www.funktion-online.de/funktiongeometrie.htm.